Хабр давно уже не торт, но иногда и там встречается прекрасное

[livelight]

О теореме Пифагора. Как её надо доказывать красиво.

TL;DR:
1. Мы постулируем, что пространство однородно и изотропно.
2. Используем свойства симметрии пространства при поворотах и отражениях
3. PROFIT!

x-post: https://livelight.livejournal.com/696661.html

Comments

[vladimir000]

Я как раз аналитик, для меня вся геометрия - какое-то малонужное извращение над объектами R² :)

[livelight]

Ну, есть как минимум одна область, в которой геометрия естественна, а линейные пространства над R² лажают: непрерывные повороты и вращения. Функции синуса, косинуса и экспоненты (комплексной) существенно нелинейны. Можно построить линейный оператор поворота на определённый угол (если кто-то добрый для тебя вычислил синус и косинус) и даже возвести его в рациональную степень, но выглядит это всё жутко коряво. И в этом плане школьная тригонометрия - жуткий отстой, потому что синусы и косинусы по-отдельности - это жалкие тени истинного вращения в комплексном пространстве. Комплексный анализ (которого в базовой школьной программе не было) чувствует себя чуть получше, но опять же: вращение в нём хорошо выражается только в экспоненциальном представлении числа (e^{i*угол_поворота + ln_{длина_вектора}}), но никак не в представлении a+i*b

[vladimir000]

Да господь с вами!

Матричное умножение и всех делов

[livelight]

Вот дана матрица поворота на угол alpha. Возведя её в квадрат, получим матрицу поворота на угол alpha*2, OK, молодцы. А теперь как построить из неё матрицу поворота на угол alpha*sqrt(2)? Если вращение непрерывное, то мы можем время (и, соответственно, угол поворота) умножать на произвольные действительные числа. Не припомню в матричной алгебре способов возвести произвольную матрицу в иррациональную степень (и даже с дробными степенями обычно непросто). Для этого нам придётся вспомнить, что данная матрица - это матрица вращения, и применить свойства вращения, которые из матричной алгебры не выводятся никак, а берутся как раз из геометрии или хотя бы из комплексного анализа.

[livelight]

> вся геометрия - какое-то малонужное извращение над объектами R² :)

Кстати, для того, чтобы представлять пространство как R², уже необходимо постулировать его изотропность, плоскую метрику и наличие ортонормированного базиса. Что в нашей физической Вселенной не всегда и не везде верно :)
А в статье Теорема Пифагора и квадратичная метрика выводятся именно из этих постулатов.